سرمایه گذاری

– نواحی توقف و پیوسته برای اختیار فروش امریکایی
برای اختیار خرید آمریکایی نیز وضعیت مشابه است بجز اینکه تقاطع فقط برای حالتی رخ می دهد که سود تقسیم شده دارایی ها مخالف صفر باشد. و برای اختیار خرید امریکایی در ‏شکل (2-11) رسم شده است.
– نواحی توقف و پیوسته برای اختیار خرید امریکایی
مفهوم اولیه منحنی اقتصادی است. مرز آزاد منحنی اعمال اولیه است بنابراین مان رسیدن فرایند به یک زمان توقف بهینه است که این برخورد در‏شکل (2-12) نشان داده شده است.
حال برای اختیار خرید امریکایی موارد فوق را بررسی می نماییم. در مواردی که می باشد اعمال فوری باعث ایجاد زیان می شود از معادله ‏(2-67) می توان دریافت که می باشد.دریافت قیمت توافقی زیان و را جبران نمی کند. بنابراین سرمایه گذار برای اعمال اختیار فروش نمی کند. بنابراین توضیح می دهد که چرا ناحیه ، ناحیه ادامه دادن اختیار (قسمت سایه دار در ‏شکل (2-10)) است. از طرف دیگر منحنی مرز توسط مشخص شده است هر تغییر در با یک حرکت متناظر از جبران می شود. در این اختیار تنها راه سود کردن اعمال و سرمایه گذاری عایدات در نرخ بهره بدون ریسک برای دروه زمانی باقی مانده است. سود حاصل معادل خواهد بود. جهت حداکثر کردن سود، نگهدارند اختیار را حداکثر می نماید و فورا زمانی که به برسد فورا اختیار را عمال می نماید. بنابراین منحنی یک منحنی اعمال فوری است. و ناحیه ناحیه توقف نامیده می شود.
-زمان توقف بهینه برا اختیار فروش امریکایی
در حقیقت منحنی های نسبت به زمان دیفرانسیل پذیر و یکنوا هستند. و هر دو کران بالا و پایین برای وجود دارد. در اینجا خودمان را به محدوده های داده شده توسط حد محدود می نماییم. برای اختیار فروش امریکایی داریم:

و برای اختیار خرید امریکایی داریم:

بنابراین برای اختیار امریکایی مرز انتهایی چپ توسط منحنی داده شده است. بنابراین جهت محاسبه مرز ازاد به شرط دیگری نیاز داریم. که این امر در تماس شیب برای در با خط راست با شیب منفی یک انجام پذیر است. به دلایل هندسی برای می توان مورد را رد کرد زیرا شرط های ‏(2-65)، ‏(2-65) و ‏(2-66) نقض می شوند. از طرف دیگر با استفاده از اربیتراژ مورد را می توان رد کرد. بنابراین شرط باقی می ماند. بنابراین بایستی تابع بر تابع بازدهی مماس شود که این را شرط حالت مماس می نامند. برای اختیار فروش امریکایی در نقطه برخورد داریم:

و برای برای اختیار خرید امریکایی در نقطه برخورد داریم:

بنابراین تمامی حقایق اختیار خرید امریکایی و اختیار فروش امریکایی به ترتیب در ‏شکل (2-13) و ‏شکل (2-14) خلاصه شده است:
-خلاصه حقایق اختیار خرید امریکایی
-خلاصه حقایق اختیار فروش امریکایی
فرمول بندی مسئله مکمل خطی: یک مثال ساده از مسله obstacle یک بعدی در نظ بگیرید. برای این منظور یک تابع با ، و در نطر بگیرید.که این تابع بیان کننده یک obstacle است همچنین در نظر بگیرید که ، با تابعی باشد که در سرتاسر تابع رسم شده است. برای سادگی فرض می نماییم که باشد. در بازه هر دو تابع برهم منطبق هستند و در سایر نقاط است که در ‏شکل (2-16) رسم شده است. در ابتدا مقدار های و نامعلوم هستند. اکنون می توان مثال را به عنوان یک مسئله ارزش مرزی ازاد فرموله نمود:
– مسئله ارزش مرزی آزاد
-چهارچوب مسئله obstacle
توجه نمایید که برای یک خط راست است که بدین معناست است. و برای یک منحنی است که است همچنین در بازه ، یا می باشد. بنابراین این مسله obstacle به صورت هم ارز می تواند به عنوان یک مسئله مکمل خطی مدل شود.

مسئله ارزش مرزی آزاد از اختیار خرید و فروش آمریکایی (‏شکل (2-13)‏شکل (2-14)) مشابه ‏شکل (2-15) است بنابراین با تعریف و و ، خرید امریکایی به عنوان یک مسئله obstacle دیده می شوند. بنابراین روشن است که می توان ارزیابی اختیار امریکایی را به عنوان یک فرموله کرد. جایی که کران مرزی به صورت صریح بیان نشده است اما زمانی که مسئله حل شود مقدار معلوم می شود.

برای اختیار امریکایی:
حال با استفاده از مسئله obstacle به استخراج برای اختیار امریکایی می پردازیم. در این بخش به استخراج برای اختیار فروش امریکایی بدون سود () می پردازیم. تبدیل ‏(2-38) منجر به نتیجه می شود مادامیکه باشد. از شرط ‏(2-65) تبدیل یافته داریم: